Билет 12 №4. Точка А лежит на окружности с центром в точке О. АВ и АС-равные хоры окружности,AD-её диаметр. Докажите, что DA-биссектриса угла BDC.

Задача: Доказать, что DA является биссектрисой угла BDC.

Дано: Круг с центром в точке O, точка A на окружности, AB и AC — равные хорды, AD — диаметр окружности.

Доказать: DA — биссектриса угла BDC.

Решение:

1. Рассмотрим окружность с центром O и равными хордами AB и AC. Так как хорды равны, расстояния от центра окружности до хорд AB и AC также равны.
2. Обратим внимание на треугольники OAB и OAC. Они равнобедренные (OA = OB = OC, так как это радиусы окружности), и AB = AC. Следовательно, треугольники равны по трем сторонам.
3. Углы OAB и OAC равны, так как они противолежащие углы в равных треугольниках.
4. Точка A лежит на диаметре AD, следовательно, углы BDA и CDA прямые (углы, опирающиеся на диаметр, равны 90 градусов).
5. Поскольку углы BDA и CDA прямые, луч AD делит угол BDC на два равных угла, то есть на два прямых угла.
6. Таким образом, AD является биссектрисой угла BDC, так как делит этот угол на два равных угла.

Вывод: Диаметр AD окружности является биссектрисой угла BDC, что и требовалось доказать.